حذف نوفه براساس خاصیت تُنُکی و کاربرد آن در مسائل معکوس خطی

Abstract

عموماً حضور نوفه در تحقیقات و اندازه‌گیری‌های ژئوفیزیکی امری اجتناب‌ناپذیر است و بسته به نوع و میزان آن، نتایج به‌دست آمده تحت تاثیر قرار می‌گیرند. از این‌رو مسئله تفکیک نوفه از سیگنال، بخشی مهم در پردازش داده‌های ژئوفیزیکی است. از طرف دیگر، محققان در ژئوفیزیک به دنبال به‌دست آوردن مشخصات فیزیکی درون زمین با استفاده از اندازه‌گیری (داده‌های) غیر مستقیم هستند که در سطح یا نزدیک به سطح زمین صورت می‌گیرد. بنابراین برای برآوردکردن مشخصات فیزیکی درون زمین باید یک مسئله معکوس حل شود. متاسفانه، اکثر مسائل معکوسی که در ژئوفیزیک ظاهر می‌شوند بدشرط (ill-condition) هستند و یا به عبارت دیگر جواب غیریکتا و ناپایدار دارند. برای پایدار و یکتا کردن جواب این گونه مسائل از ابزارهای تنظیم (regularization) استفاده می‌شود. این به آن معنا است که با استفاده از اطلاعات از قبل موجود در مورد جواب مجهول، بتوان مسئله را پایدار کرد و نوسان‌های بسامد زیاد ناشی از نوفه را در جواب مسئله از بین برد. یکی از روش‌های مرسوم برای حل این مسائل، بسط مدل (جواب) مجهول در یک پایه متعامد، جدا کردن ضرایب مدل از ضرایب مربوط به نوفه و در نهایت به‌دست آوردن مدل است. پایه‌ به‌دست آمده از تجزیه مقادیر تکین (Singular Value Decomposition, SVD) مثالی مرسوم در این باب است که به فراوانی مورد استفاده قرار می‌گیرد. از مشکلات اصلی پایه‌ SVD متمرکز نبودن در مکان (زمان) است که باعث ایجاد پدیده گیبس در ناپیوستگی‌ها می‌شود. این امر جدا کردن ضرایب مدل از ضرایب نوفه را دچار مشکل می‌کند. موجک‌ها برخلاف SVD، پایه‌ متعامدی را تشکیل می‌دهند که بردارهای آن در حوزه‌های مکان (زمان) و بسامد تمرکز یافته‌اند، بنابراین در ناپیوستگی‌ها پدیده گیبس بسیار کمتری ایجاد می‌کنند. خصوصیت دیگر آنها موجود بودن الگوریتم سریع برای محاسبه است. این خصوصیات باعث می‌شود که آنها گزینه‌های مناسبی برای حل مسائل معکوس باشند. موضوعاتی که در این مقاله بررسی شده‌اند عبارت‌اند از: 1- عملکرد تبدیلات تنک‌کننده (مانند تبدیل موجک‌) در حذف نوفه و کاربرد آنها در حل دیگر مسائل معکوس خطی. 2- مقایسه عملکرد سه فیلتر غیرخطی انقباض سخت (hard shrinkage)، انقباض نرم (soft shrinkage) و (Amplitude-scale-invariant Bayes Estimator, ABE) به منظور برآورد ضرایب سیگنال در حوزه تُنُک (sparse) برای سطوح متفاوت نوفه. 3- عرضه روشی کارآمد برای برآوردکردن انحراف معیار نوفه (این مسئله‌ در تحقیقاتی که داده‌‌برداری در آنها تکرار نمی‌شود حائز اهمیت است). انحراف ‌معیار‌ به‌دست آمده برای یافتن پارامتر تنظیم در روش‌های مبتنی بر موجک معرفی شده به کار برده می‌شود. در نهایت عملکرد الگوریتم‌های تدوین شده در مقایسه با روش SVD برای وارون‌کردن عملگر انتگرال‌گیری به منظور یافتن نرخ تغییرات یک تابع نشان داده می‌شود.