بررسی زیرجمعی بودن توابع روی عملگرهای مثبت بدون فرض یکنوایی و تحدب عملگری

Abstract

در این مقاله‏، زیرجمعی بودن توابع روی عملگرها‏ی مثبت را بدون فرض یکنوایی عملگری و تحدب عملگری بررسی می‌کنیم. گیریم ‎‎$‎A‎$‎‏ و ‎‎$‎B‎$‎‏ عملگرهای مثبت روی یک فضای هیلبرت ‎‎$‎‎mathcal{H}‎$‎‎‏ باشند و ‎‎$‎0leq AB+BA‎$‎‏. فرض کنید برای عملگر‎

‏‎‎‎$‎$‎‎E=(A+B)^{-frac{1}{2}}left(A^2+B^2right)(A+B)^‎{‎-frac{1}{2}}‎,‎$$‏

بازه‎ باز ‎‎$(‎m_E,M_E)‎$‏،‎ که‎ در آن‏، ‎‎$‎m_‎E‎$‎‏ و ‎‎$‎M_E‎$‎‏ کران‌های عملگر ‎‎$‎E‎$‎‏ هستند‏،‏ با طیف‌های مربوط به عملگرهای ‎‎$‎A‎$‎‏ و ‎‎$‎B‎$‎‏ اشتراک نداشته باشد.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎

‏ در این‌صورت‎‎‏‏، برای هر تابع پیوسته ‎‎$‎g:(0,infty)‎rightarrow‎‎mathbb{R}^+‎$‎‎‏ که برای آن‏، تابع ‎‎$‎f(t)=frac{g(t)}{t}‎$‎‏ محدب و نزولی باشد‏، خواهیم داشت

‎‎$‎‎$‎g(A+B)leq c(m,M,f)(g(A)+g(B)),‎$‎‎$‎‎

‏که در آن‏، ‎‎$‎m‎$‎‏ و ‎‎$‎M‎$‎‏ کران‌های عملگر ‎‎$‎A+B‎$‎‏ هستند و

‎‎$‎‎$‎‎c(m,M,f):=max_{mleq tleq M}left{frac{‎frac{f(M)-f(m)}{M-m}t+‎frac{Mf(m)-mf(M)}{M-m}}{f(t)‎}right}‎.‎$‎‎$‎./files/site1/files/64/3Anjidani.pdf