نتیجه‌ای درباره قطر جبرهای باناخ عملگری انقباض‌پذیر

Abstract

به یک جبر باناخ A انقباض‌پذیر گفته می‌شود هرگاه به ازای هر A-دومدول باناخ E، هر اشتقاق پیوسته از A به E درونی باشد. مفهوم انقباض‌پذیری در مبحث کوهمولوژی و میانگین‌پذیری جبرهای باناخ ظاهر می‌گردد. تنها جبرهای باناخ انقباض‌پذیری که تا کنون شناخته شده اند، از بعد متناهی هستند. درواقع، یکی از قدیمی‌ترین حدس‌ها در این مبحث، عدم وجود جبرهای باناخ انقباض‌پذیر با بعد نامتناهی است. حالت خاص این حدس، که آن نیز هنوز بی‌پاسخ است، می‌‌گوید که برای یک فضای باناخ X اگر B(X)، جبر باناخ همه عملگرهای خطی و پیوسته روی X، انقباض‌پذیر باشد آنگاه X از بعد متناهی است. براساس نتیجه ای شناخته شده، یک جبر باناخ A انقباض‌پذیر است اگر و فقط اگر عنصر ویژه‌ای به‌نام قطر در A⊗π A، حاصلضرب تانسوری تصویری A با خودش، موجود باشد. در این یادداشت کوتاه، نشان می‌دهیم که اگر X از بعد نامتناهی باشد و B(X) انقباض‌پذیر باشد، آنگاه تصویر هر قطر B(X)، تحت نگاشت کانونی، در B(X⊗π X) برابر با عملگر صفر است. برای اثبات از برآورد معروف کدک-اسنوبار درباره نرم عملگرهای تصویرگر روی زیرفضاهای با بعد متناهی، استفاده می‌کنیم. امیدواریم که دانستن چنین ویژگی قطر و روشی که در این یادداشت ارائه می‌کنیم، در آینده منجر به حل شدن حدس متناهی بعد بودن X شود.