مسیرهای مرتبه‌دار‌ و پایداری روش‌های عددی در معادلات دیفرانسیل معمولی

Abstract

ستاره‌های مرتبه‌دار به عنوان ابزاری اساسی برای درک مرتبه و خواص پایداری روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی معرفی شدند که با استفاده از آنها می‌توان برخی حد‌س‌ها و نتایج معروف در خصوص ارتباط بین مرتبه و خواص پایداری روش‌های عددی را اثبات نمود. همچنین مسیرهای مرتبه‌دار برای تکمیل استفاده ستاره‌های مرتبه‌دار معرفی شدند که با استفاده از آنها می‌توان اثبات‌هایی ساده‌تر و جذاب‌تر را برای موانع مرتبه روش‌های عددی با خواص پایداری مطلوب، که اثبات آنها به صورت کلاسیک و حتی با استفاده از ستاره‌های مرتبه‌دار پیچیده است، ارائه نمود. در این مقاله، به بررسی این مفاهیم پرداخته و با به‌دست آوردن معادلات دیفرانسیل مربوط به هرکدام از ستاره‌های مرتبه‌دار و مسیرهای مرتبه‌دار، راهکارهایی جذاب و در عین حال ساده برای رسم آنها ارائه می‌شود. همچنین کاربردهایی از مسیرهای مرتبه‌دار، در اثبات برخی نتایج معروف در روش‌های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی، ارائه می‌شوند و اثباتی ساده و کوتاه برای قضیه مانع دوم دالکوئیست، ارائه می‌شود.