روش پارتیشن بندی واحد توابع پایه شعاعی مبتنی بر تفاضلات متناهی برای حل معادله دیفرانسیل جزیی تصادفی سهموی

Abstract

روش توابع پایه ­ای شعاعی یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی تصادفی بوده و به دلیل خاصیت شعاعی، به کارگیری آن در ابعاد بالا با دشواری­های کمتری همراه است و دقت طیفی برای انواع معینی از آن­ها دست یافتنی است. به­علاوه بر روی دامنه­های نامنظم به خوبی قابل استفاده است. اما بسیاری از توابع پایه ای شعاعی پرکاربرد دارای محمل سراسری هستند و لذا ماتریس ضرایب در روش­های بدون شبکه مبتنی بر این دسته از توابع پایه­ای شعاعی چگال خواهد بود، که این امر هزینه محاسباتی و ناپایداری­های عددی را افزایش می­ دهد. این چالش در زمینه حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی که با شبیه ­سازی­های متعددی سر و کار خواهیم داشت به صورت جدی­تر مطرح می­ باشد. در این مقاله، روش پارتیشن­ بندی واحد توابع پایه شعاعی مبتنی بر تفاضلات متناهی را برای رفع این چالش ارایه خواهیم کرد و آن را بر روی معادلات دیفراسیل با مشتقات جزیی تصادفی سهموی پیاده­ سازی خواهیم نمود. با به کارگیری چنین طرحی، یک مسئله بزرگ به تعداد زیادی مسئله کوچک تجزیه می­ شود. همچنین، خاصیت همگرایی طیفی توابع پایه شعاعی در تقریب­های موضعی به سرتاسر روش پارتیشن­ بندی واحد مبتنی بر توابع پایه شعاعی منتقل می­ شود. به منظور ارزیابی عملکرد روش با استفاده از 1000 شبیه ­سازی انجام شده، معیارهای آماری نظیر میانگین، انحراف معیار و کران­های بالا و پایین جواب­ها ارایه شده است. نتایج شبیه ­سازی­های عددی نشان می­دهد، این روش به­ طور قابل ملاحظه ­ای بدوضعی روش سراسری مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی را کاهش می ­دهد. به ­علاوه، این روش با تولید دستگاه معادلات تنک به ­طور قابل توجهی باعث کاهش حجم محاسباتی می­ گردد. همچنین، روش پیشنهادی را بر روی دامنه ­های نامنظم به کار خواهیم برد تا مزیت استفاده آسان از توابع پایه شعاعی برای چنین نواحی را نشان دهیم.