بررسی پایداری طرح تفاضلات متناهی غیراستاندارد برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات نسبی خطی از مرتبه کسری

Abstract

عمل‌گرهای مشتق و انتگرال کسری مفهوم جدیدی از مشتق و انتگرال از مرتبۀ دل‌خواه است. معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات نسبی )[1](PDE که مشتقات موجود در آن بتوانند از مرتبه کسری باشند معادلۀ دیفرانسیل با مشتقات نسبی کسری ([2](FPDE گفته می شود. امروزه این معادلات به‌دلیل کاربرد زیاد توجه ویژه‌ای را به خود معطوف داشته‌اند. در این مقاله حالت نسبتاً کلی از یک FPDE مطرح می شود، برای به‌دست آوردن طرحی عددی، مشتقات کسری موجود در معادله با استفاده یکی از تعاریف متداول گرانوالد- لتنیکوف[3]، ریمان- لیوویل[4] و کاپتو[5] جای‌گزین می‌شوند و برای بهبود جواب عددی، مشتقات نسبی موجود در معادله با استفاده از طرح‌های تفاضلی غیراستاندارد (NSFD[6]) گسسته‌سازی می شوند. سپس پایداری طرح عددی حاصل بررسی می گردد و ثابت می‌شود روش معرفی شده غیرمشروط پایدار است. در پایان با هدف تأیید نتایج تئوری، تکنیک معرفی شده برای حل معادله موج با مرتبۀ کسری که در فیزیک و شاخه‌های آن کاربرد فراوانی دارد به‌کار می رود. نتایج عددی مؤید یافته‌های تئوری است و نشان از کارایی این تکنیک دارد.

*نویسنده مسئول arabameri@math.usb.ac.ir

1. Partial Differential Equation

2. Fractional Partial Differential Equation

3. Grundwald-Letnikov

4. Riemann-Liouville

5.Caputo

6. Non-Standard Finite Difference